Question

二次函数y=ax²+4的图象与x轴正半轴交于点A（2，0），点B（0，2）在y轴上，点P是直线AB上的一个动点，过点P作PC∥y轴交抛物线于点C，设点P的横坐标为m（m＜2），求当△PBC是直角三角形时，直接写出m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：把点（2，0）代入二次函数y=ax²+4，根据待定系数法可求二次函数解析式，设直线AB的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求直线AB的解析式，再分∠PBC=90°，∠PCB=90°两种情况讨论即可求解．

解答：解：把点（2，0）代入二次函数y=ax²+4，可得
4a+4=0，
解得a=-1，
则二次函数解析式为y=-x²+4，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点（2，0），（0，2）代入可得

2k+b=0 b=2

，
解得

k=-1 b=2

则直线AB的解析式为y=-x+2，

①设抛物线与x负半轴交于点D，易得△ABD为等腰直角三角形，其中∠ABD为直角．
即过点B、D的直线是垂直于直线AP，
当∠PBC=90°时，即点C在直线BD上，如答图1，
设直线BD的解析式为y=k′x+b′，
把点B（0，2），点D（-2，0）代入，可得直线BD的解析式为y=x+2，
联立二次函数解析式可得

y=x+2 y=-x2+4

，
解得

x1=-2 y1=0

，

x2=1 y2=3

．
则m的值为-2或1；

②当∠PCB=90°时，
∵PC∥y轴，
∴CB⊥y轴
过点B作直线l垂直于y轴，如答图2，
C点的纵坐标为2，将其代入抛物线解析式中，
当y=2时，-x²+4=2，解得x=±

2

，
则m的值为-

2

或

2

．
综上所述，m的值为-2或1或-

2

或

2

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求直线的解析式，直角三角形的性质，方程思想，以及分类思想的应用．