Question

6．已知二次三项式ax²+bx+c当x=2时，取得最小值-1；且它的两根的立方和为24，如果x=-1，那么这个二次三项式的值是12$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据二次三项式ax²+bx+c当x=2时，取得最小值-1；且它的两根的立方和为24，可以转化为一元二次函数的问题，从而可以求得a、b、c的值，进而可以求得当x=-1时的这个二次三项式的值，本题得以解决．

解答 解：由题意可得，
令y=ax²+bx+c，当x=2时，有最小值y=-1，设ax²+bx+c=0时的两个根为x₁，x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-1}\\{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=（{x}_{1}+{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）=24}\end{array}\right.$
又∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$，${{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$
∴当x=-1时，y=a-b+c=$\frac{3}{2}-（-6）+5=\frac{3}{2}+6+5=12\frac{1}{2}$，
故答案为：12$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确根与系数的关系，利用数学中转化的数学思想将所求问题转化为二次函数的问题．