Question

如图，△ABC中∠C=90°，AC=16cm，BC=12cm，两动点P，Q分别从点A，点C同时出发，点P以4cm/秒的速度沿AC方向运动，点Q以3cm/s的速度沿CB方向运动，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当t=1时，求△PQC的面积和四边形APQB的面积；
（2）试用含t的代数式表示四边形APQB的面积S；并求出S的最小值；
（3）若点O为AB的中点，是否存在着t值使得OP⊥OQ？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形的面积,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）由t=1确定出AP与CQ的长，根据AC-AP求出PC的长，求出三角形PCQ面积，由三角形ABC面积减去三角形PCQ面积表示出S即可；
（2）由t表示出AP于CQ，进而表示出CP，得出三角形PCQ面积，由三角形ABC面积减去三角形PCQ面积，利用二次函数的性质求出S的最小值即可；
（3）延长QO至Q′，使OQ′=OQ，连结A Q′，P Q′，若存在t值使OP⊥OQ，则OP垂直平分Q Q′，利用SAS得出△AOQ′≌△BOQ，得到AQ′=BQ=12-3t，∠OAQ′=∠B，利用勾股定理求出t的值即可．

解答：解：（1）当t=1时，AP=4，CQ=3，
∴PC=AC-AP=16-4=12，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

×12×3=18（cm²），S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×16×12=96（cm²），
则S=S_{四边形APQB}=S_△ABC-S_△PCQ=96-18=78（cm²）；
（2）当0＜t＜4时，AP=4t，CQ=3t，
∴CP=16-4t
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

×（16-4t）×3t=24t-6t²（cm²），
∴S=S_{四边形APQB}=S_△ABC-S_△PCQ=96-（24t-6t²）=6t²-24t+96=6（t-2）²+72（cm²），
∵（t-2）²≥0，
∴S≥72，
则当t=2s时，四边形APQB的面积取得最小值为72cm²；
（3）延长QO至Q′，使OQ′=OQ，连结A Q′，P Q′，
若存在t值使OP⊥OQ，则OP垂直平分Q Q′，
∴PQ′=PQ，
∴PQ²=PQ²，
∵OA=OB，∠AOQ′=∠BOQ，OQ′=OQ，
∴△AOQ′≌△BOQ，
∴AQ′=BQ=12-3t，∠OAQ′=∠B，
由∠C=90°得∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠OAQ′=90°，即∠PAQ′=90°，）
由勾股定理得：PQ²=AP²+AQ²=（4t）²+（12-3t）²，
在Rt△PCQ中，PQ²=PC²+CQ²=（16-4t）²+（3t）²，
∴（4t）²+（12-3t）²=（16-4t）²+（3t）²，
解得：t=2，
∴存在t值当t=2（s）时OP⊥OQ．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理，弄清题意是解本题的关键．