Question

6．教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）²；
（2）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为a²+2ab+b²；因此，可得到等式：（a+b）²=a²+2ab+b²．
①类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
②试在图2右边空白处画出面积为2a²+3ab+b²的长方形的示意图（标注好a，b），由图形可知，多项式2a²+3ab+b²可分解因式为：2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．

③若将代数式（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有210项．

Answer 1

分析 ①根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
②根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可；
③由（a₁+a₂）²=a₁²+2a₁a₂+a₂²，共有2+1=3项；（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₃a₃，共有1+2+3=6项，知（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展开后合并同类项共有1+2+3+…+20=$\frac{（1+20）×20}{2}$=210项．

解答 解：①（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc；

②如图，

2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b），
故答案为：2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）；

③∵（a₁+a₂）²=a₁²+2a₁a₂+a₂²，共有2+1=3项；
（a₁+a₂+a₃）²=a₁²+a₂²+a₃²+2a₁a₂+2a₂a₃+2a₃a₃，共有1+2+3=6项，
…
∴（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀）²展开后合并同类项共有1+2+3+…+20=$\frac{（1+20）×20}{2}$=210项，
故答案为：210．

点评 此题考查了完全平方公式的几何背景及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．