题目内容
2．
如图，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k为常数，且k＞0），动点P在AB边上（点P不与A、B重合），点Q、R分别在BC、DA边上，且AP：BQ：DR=3：2：1．点A关于直线PR的对称点为A′，连接PA′、RA′、PQ．（1）若k=4，PA=15，则四边形PARA′的形状是正方形；
（2）设DR=x，点B关于直线PQ的对称点为B′点．
①记△PRA′的面积为S1，△PQB′的面积为S2．当S1＜S2时，求相应x的取值范围及S2-S1的最大值；（用含k的代数式表示）
②在点P的运动过程中，判断点B′能否与点A′重合？请说明理由．
分析 （1）先证明四边形PARA′是菱形，再根据∠A=90°，可以推出四边形PARA′是正方形．
（2）①分别求出S1，S2，根据S1＜S2，确定自变量取值范围，再构建S2-S1关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．
②点B'不能与点A'重合，利用反证法即可证明．
解答 解：（1）∵k=4，PA=15，AP：BQ：DR=3：2：1，
∴DR=5，BC=AD=20，AR=AP=15，
∵A、A′关于PR对称，
∴RA=RA′=PA=PA′，
∴四边形PARA′是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形PARA′是正方形．
故答案为正方形；
（2）解：①由题意可知，BQ=2x，PA=3x，AR=5k-x，BP=8k-3x，
∵S1=S△PRA=$\frac{1}{2}$•AR•AP=$\frac{1}{2}$•（5k-x）•3x=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{15}{2}$kx，
S2=S△PQB=$\frac{1}{2}$•BP•BQ=$\frac{1}{2}$（8k-3x）•2x=-3x2+8kx，
由S1＜S2可得，-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{15}{2}kx$＜-3x2+8kx，
∵x＞0，
∴x取值范围为0＜x＜$\frac{1}{3}$k，
∴S2-S1=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$kx=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{k}{6}$）2+$\frac{1}{24}$k2，
∴当x=$\frac{k}{6}$时，S2-S1有最大值，最大值为$\frac{1}{24}$k2．
②点B'不能与点A'重合．理由如下：
如图，假设点B'与点A'重合，则有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°，
由对称的性质可得，∠A'PR=∠APR，∠B'PQ=∠BPQ，
∴∠APR+∠BPQ=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
由∠A=90°可得，∠APR+∠PRA=90°，
∴∠PRA=∠BPQ，
又∵∠A=∠B=90°
∴Rt△PAR∽Rt△QBP，
∴$\frac{PA}{QB}=\frac{AR}{BP}$，即PA•BP=AR•QB．
∴3x（8k-3x）=（5k-x）•2x，解得，x1=0（不合题意舍去），x2=2k，
又∵PA=PA'，PB=PB'=PA'，
∴PA=PB，
∴3x=8k-3x，解得x=$\frac{4}{3}$k≠2k，
故点B'不能与点A'重合．
点评 本题考查四边形综合题、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，注意自变量的取值范围，学会反证法证明的步骤，属于中考常考题型．
①1022.01（精确到0.001）
②0.1022万（精确到个位）
③1020（精确到十位）
④1022.010（精确到千分位）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| A． | -2 | B． | 1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
| A． | 0 | B． | -1 | C． | -$\sqrt{2}$ | D． | -2 |
如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）| A． | （1，-$\sqrt{2}$） | B． | （1，-1） | C． | （$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$） | D． | （$\sqrt{2}$，-1） |
| A． | 圆柱 | B． | 圆锥 | C． | 正方体 | D． | 球 |
