Question

阅读下列材料：
在平面直角坐标系中，若点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则P₁、P₂两点间的距离为

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．例如：若
P₁（3，4）、P₂（0，0），则P₁、P₂两点间的距离为

(3-0)2+(4-0)2

=5．
设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式

x2+y2

=1，即x²+y²=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x²+y²=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x²+y²=1称为⊙O的方程．
在平面直角坐标系中，若点P₀（x₀，y₀），则P₀到直线y=kx+b的距离为

|kx0-y0+b|

1+k2

．
请解答下列问题：
（I）写出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程．
（II）求出原点O到直线y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

的距离．
（III）已知关于x、y的方程组：

y= (1-n2)x 2n - 1+n2 2n …(1) x2+y2=m…(2)

，其中n≠0，m＞0．
①若n取任意值时，方程组都有两组不相同的实数解，求m的取值范围．
②当m=2时，记两组不相同的实数解分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
求证：(x1-y1)2+(x2-y2)2是与n无关的常数，并求出这个常数．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（I）仿照题意，可列出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程，表示到原点（0，0）距离是r的点；
（II）由点P₀（x₀，y₀）到直线y=kx+b的距离公式为

|kx0-y0+b|

1+k2

，代入公式即可求解；
（III）①x²+y²=m，表示以原点为圆心，半径是

m

的圆，y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

表示直线，当直线与y轴的交点到圆心的距离小于圆的半径时，方程组都有两组不相同的实数解，由此求m的取值范围；
②(x1-y1)2+(x2-y2)2表示：两个交点之间的距离，两交点之间的线段就是圆的直径，据此即可判断．

解答：解：（I）以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程是：x²+y²=r²；
（II）k=

1-n2

2n

，
则求出原点O到直线y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

的距离是：

|- 1+n2 2n |

1+( 1-n2 2n )2

=1；
（III）①∵1+n²≥2n，则

1+n2

2n

≥

2n

2n

≥1，
即直线y=

(1-n2)x

2n

-

1+n2

2n

与y轴的交点的纵坐标一定在（0，1）和（0，-1）之间．
x²+y²=m，表示以原点为圆心，半径是

m

的圆．
∵方程组都有两组不相同的实数解，
∴

m

＞1，
∴m＞1；
②证明：∵(x1-y1)2+(x2-y2)2表示：两个交点之间的距离，两交点之间的线段就是圆的直径．
∴(x1-y1)2+(x2-y2)2=2

m

，则与n的值无关，
∴次常数为2

m

．

点评：本题是阅读理解的问题，关键是理解题目叙述的意义，能从图形的观点认识方程，方程组，考查了数形结合的思想方法．