Question

1．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）求菱形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AF=CE即可．
（2）在RT△ABE中利用勾股定理求出BE、AE，再根据S_菱形AECF=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△DFC求出面积即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACF，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠FAC=∠FCA，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC=CF=AF，设菱形的边长为a，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=12，AE=a，BE=18-a，
∴a²=12²+（18-a）²，
∴a=13，
∴BE=DF=5，AF=EC=13，
∴S_菱形AECF=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△DFC=216-30-30=156cm²．

点评 本题考查菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键，学会转化的思想，把问题转化为方程解决属于中考常考题型．