题目内容
2．
如图，一艘向东北方向航行的船，在A处观测灯塔S在船的北偏东67.5°的方向，航行6海里后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：tan22.5°≈$\frac{2}{5}$；sin22.5°≈$\frac{19}{50}$；cos22.5°≈$\frac{23}{25}$）
分析 作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SD⊥AB于D，在直角△ABD中利用三角函数求得AD的长，然后在直角△ADS中利用三角函数求得AS的长，再在直角△AES中利用三角函数求得ES的长与8海里进行比较即可．
解答 
解：作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SD⊥AB于D．
∵在直角△ABD中，∠BAD=45°，AB=6海里．
∴AD=AB•sin∠DAB=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$（海里），
在直角△ADS中，AS=$\frac{AD}{cos∠DAS}$=$\frac{3\sqrt{2}}{sin22.5°}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{19}{50}}$=$\frac{150\sqrt{2}}{19}$（海里）．
作SE⊥AB于点E．
在直角△AES中，∠EAS=67.5°-45°=22.5°，
ES=AS•sin∠EAS=$\frac{150\sqrt{2}}{19}$×$\frac{19}{50}$=3$\sqrt{2}$＜8（海里）．
则艘船不可以继续沿东北方向航行．
点评 本题考查了三角函数的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形，求得AS的长是关键．
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