Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与直线BC交于点P，求△ABP的周长．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）把A（1，0）、B（-3，0）代入y=ax²+bx+3得到关于a、b的方程组，解方程组求出a和b即可；
（2）先确定抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3），则可利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=x+3，再确定抛物线的对称轴为直线x=-1，所以点P的横坐标为-1，再利用直线BC的解析式得到P点坐标为（-1，2），然后根据两点间的距离公式计算出PA、PB、AB，最后计算三角形的周长．

解答：解：（1）根据题意得

9a-3b+3=0 a+b+3=0

，
解得

a=-1 b=-2

．
所以该二次函数的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）抛物线y=-x²-2x+3与y轴的交点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b₁，把B（-3，0）C（0，3）代入得

-3k+b1=0 b1=3

，
解得

k=1 b1=3

．
∴直线BC的解析式为y=x+3，
∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为直线x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∴点P的横坐标为-1，
把x=-1代入y=x+3得y=2，
∴P点坐标为（-1，2），
∵A（1，0），B（-3，0）
∴PB=

22+(3-1)2

=2

2

，
AP=

22+(1+1)2

=2

2

，
AB=4
∴△ABP的周长=PA+PB+AB=2

2

+2

2

+4=4

2

+4．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查来哦二次函数的性质和勾股定理．