Question

【题目】三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在中，已知：，且．

在图中，用尺规作的垂直平分线交于，并连接（保留作图痕迹，不写作法）；

是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

设，试求的值；

如图，在中，已知，，且，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）根据作线段垂直平分线的方法作图即可；（2）分别求得△BCD各个角的度数，根据黄金三角形的定义即可解答；（3）通过证明△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；（4）延长到，使，连接，证明，可得．根据（3）可得，，由此即可求得的值．

如图所示；

是黄金三角形．

证明如下：∵点在的垂直平分线上，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴是黄金三角形．

设，，

由知，．

∵，，

∴，

∴，即，

整理，得，

解得．

因为、均为正数，所以．

．

理由：延长到，使，连接．

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

由知，

∴，，

∴．