Question

19．已知：如图所示，在锐角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 首先延长AD至E，使AD=DE，连接BE，根据三角形全等的判定方法，可得：△ADC≌△EBD；然后根据全等三角形的对应边相等，可得：∠CAD=∠BED，据此推得AB=BE=AC，判断出△ABC是等腰三角形即可．

解答 证明：如图，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，，
在△ACD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=ED}\\{∠ADC=∠EDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EBD，
∴BE=AC，∠DAC=∠DEB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠BED，
∴AB=BE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 此题主要考查了等腰三角形的判定，以及三角形全等的判定方法和应用，要熟练掌握．