Question

11．如图，在?ABCD中，O是对角线BD的中点，AD⊥BD，AB=4cm，∠BAD=60°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB-BC向终点C运动，连结PO并延长交折线CD-DA于点Q，将线段PQ绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结QE，设点P的运动时间为t（s）
（1）当PQ与?ABCD的边垂直时，求PQ的长；
（2）直接写出点E落在?ABCD内部时t的取值范围；
（3）设△PQE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）当直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分时，直接写出△PQE与?ABCD重叠部分图形的面积．

Answer 1

分析 （1）分两种情形①PQ⊥CD．②PQ⊥BC．分别求解即可．
（2）求出两个特殊位置t的值①如图2中，当点E与B重合时．②如图3中，当点E在CD上时．即可解决问题．
（3）因为△PQE是等边三角形，PQ=2OP，所以可以推出S_△PQE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•PQ²=$\sqrt{3}$OP²，分两种情形①当0＜t≤2时，②当2＜t≤3时，只要求出OP²即可解决问题．
（4）分两种情形①如图6中，当Q是CD的中点时，直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与?ABCD重叠部分图形是△PQE．②如图7中，当Q是AD中点时，直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与?ABCD重叠部分图形是四边形PQDM，分别求解即可．

解答 解：（1）①如图1中，当PQ⊥AB时，

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠A=60°，AB=4，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2．BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∵O是BD中点，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPB中，∠OPB=90°，∠OBP=30°，OB=$\sqrt{3}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
易知△OPB≌△OQD，
∴OQ=OP，
∴PQ=2OP=$\sqrt{3}$．
②当点P与B重合时，PQ⊥AD，易知此时PQ=BD=2$\sqrt{3}$，
综上所述，当PQ与?ABCD的边垂直时，PQ=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

（2）①如图2中，当点E与B重合时，易知PQ∥AD，

∵DO=OB，
∴AP=PB，
此时t=1．
②如图3中，当点E在CD上时，

易证PE∥AD，PE=AD=PQ=2，
∴OQ=OP=PB=1，
∴AP=3，
此时t=$\frac{3}{2}$，
综上所述，当1＜t＜$\frac{3}{2}$时，点E落在?ABCD内部．

（3）∵△PQE是等边三角形，PQ=2OP
∴S_△PQE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•PQ²=$\sqrt{3}$OP²，
①当0＜t≤2时，如图4中，作OH⊥AB于H．

易知OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PH=|4-$\frac{3}{2}$-2t|，
∴OP²=OH²+PH²=$\frac{3}{4}$+（$\frac{5}{2}$-2t）²=4t²-10t+7，
∴S=4$\sqrt{3}$t²-10$\sqrt{3}$t+7$\sqrt{3}$．
②当2＜t≤3时，如图5中，

易知OP²=OB²+PB²=3+（2t-4）²=4t²-16t+19，
∴S=4$\sqrt{3}$t²-16$\sqrt{3}$t+19$\sqrt{3}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}{t}^{2}-10\sqrt{3}t+7\sqrt{3}}&{（0＜t≤2）}\\{4\sqrt{3}{t}^{2}-16\sqrt{3}t+19\sqrt{3}}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如图6中，当Q是CD的中点时，直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与?ABCD重叠部分图形是△PQE，易知重叠部分面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$．

②如图7中，当Q是AD中点时，直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与?ABCD重叠部分图形是四边形PQDM，

易知S_{重叠部分PQDM}=S_△PEQ-S_△EDM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
综上所述，当直线BQ将?ABCD的面积分成1：3的两部分时，△PQE与?ABCD重叠部分图形的面积为$\sqrt{3}$或$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会取特殊点、特殊位置解决实际问题，所以中考压轴题．