Question

9．如图，一次函数y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴交于A、B两点，P为一次函数y=x的图象上一点，以P为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切，则∠BPO=30°或120°．

Answer 1

分析 首先利用三角函数求得∠OBA的度数，然后分成P在AB的左侧和右侧两种情况进行讨论，利用切线长定理以及三角形的内角和定理即可求解．

解答 解：在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，当x=0时，y=$\sqrt{3}$，则B的坐标是（0，$\sqrt{3}$）；
当y=0时，x=1，则A的坐标是（1，0）；
则tan∠OBA=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则∠OBA=30°．
当P在AB的左侧时，此时P一定在直角△OAB的内部．
如图1的位置：∵直线y=x时第一、三象限的角的平分线，
∴∠BOP₁=45°，
∵OB和AB是圆切线，
∴∠OBP₁=$\frac{1}{2}$∠OBA=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠BP1O=180°-15°-45°=120°；
当P在AB的右侧时，如图2，
同理可得∠ABP₂=$\frac{1}{2}$（180°-∠OBA）=$\frac{1}{2}$×（180°-30°）=75°，
∠BOP₂=45°，
∴∠BP₂O=180°-75°-45°=30°．
故答案是：30°或120°．

点评 本题考查了切线长定理，以及三角形的内角和的应用，正确对P的位置进行讨论是关键．