Question

10．如图，己知AB为⊙O上直径，过C作直线MN，AD⊥MN于D，AC平分∠BAD，求证：MN与⊙O相切．

Answer 1

分析 连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线MN与⊙O相切于C点．

解答 证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥MN．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线MN与⊙O相切于点C．

点评 本题考查了切线的判定，角平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．