Question

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA=QE．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）由（1）知AC=CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ=FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：在?ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，
在△CEF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠AED}\\{EC=AE}\\{∠ECF=∠EAD}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；

（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；

（3）由（1）知AC=CF，
∵CQ∥AD，
∴DQ=FQ，
∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，
∴AQ=EQ=$\frac{1}{2}$DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．