Question

10．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．
①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF
②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？

Answer 1

分析 ①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；
②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．

解答 ①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠BOE=∠AOF=90°，
∴∠OEB+∠OBE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AGE=90°，
∴∠OEB+∠OAF=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△BOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\\{∠OBE=∠OAF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF（ASA），
∴OE=OF；
②解：OE=OF还成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠BOE=∠AOF=90°，
∴∠OEB+∠OBE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AGE=90°，
∴∠OEB+∠OAF=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△BOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\\{∠OBE=∠OAF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF（ASA），
∴OE=OF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．