Question

12．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，CD与BE交与点O、AD与BC交于点P、BE与CD交于点Q．
求证：①AD=BE
             ②∠AOB=60°
             ③AP=BQ
              ④QE=DP．

Answer 1

分析 ①由正三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ADC≌△BEC，即可得出结论；
②由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；
④由ASA证明△CDP≌△CEQ，即可得出结论；
③由全等三角形的性质得出AD=BE，QE=DP，即可得出结论．

解答 证明：①∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC；
②∠AOB=∠DAE+∠BEC=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°；
④在△CDP和△CEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠ECQ}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\\{∠ADC=∠BEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴QE=DP，
③∵△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识点；本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．