Question

【题目】（概念提出）如图 ①，若正△DEF的三个顶点分别在正△ABC的边AB、BC、AC上，则我们称△DEF是正△ABC的内接正三角形．

（1）求证：△ADF≌△BED．

（问题解决）利用直尺和圆规作正三角形的内接正三角形(保留作图痕迹，不写作法)．

（2）如图 ②，正△ABC的边长为a，作正△ABC的内接正△DEF，使△DEF的边长最短，并说明理由；

（3）如图③，作正△ABC的内接正△DEF，使FD⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，理由见解析；（3）作图见解析．

【解析】

概念提出：

（1）由等边三角形的性质DF=DE，∠A=∠B=60°，由三角形内角和可得∠ADF=∠BED，即可证△ADF≌△BED；

问题解决：

（2）由S△DEF=，可知当S△DEF最小时，DF的长最小，设BD=x，则AD=BE=a-x，可得S△BED=BEDG= =-（x-）2+a2；然后根据二次函数的性质求解即可；

（3）作AB，AC的垂直平分线交点为O，连接AO，作AO的垂直平分线交AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆，交AC于点F，交BC于点E，即可求解．

证明（1）∵△ABC与△DEF都是正三角形，

∴∠A=∠B=60°，∠EDF=60°，DF=ED．

∵∠ADF+∠EDF=∠B+∠BED，

∴∠ADF=∠BED，且DF=DE，∠A=∠B=60°，

∴△ADF≌△BED；

问题解决：

（2）如图所示：

理由：由（1）知△ADF≌△BED，

同理可证△BED≌△CEF，

∴△ADF≌△BED≌△CEF，

过点D作DG⊥BE，设BD=x，则AD=BE=a﹣x，DG=sinB×BDx，

S△BEDBEDG(a﹣x)·x(x)2a2；

∴当BD，即点D、E、F是各边中点时，S△BED有最大值a2，

此时△ADF、△CEF的面积均为最大a2(正△ABC的四分之一)，

则内接正△DEF的面积最小，即边长最短．

（3）如图所示：