Question

10．已知AB是⊙O的弦，用直尺和圆规作以AB为边的圆内接等腰三角形，若这样的三角形恰好能作两个，则AB：OA=2：1或$\sqrt{3}$：1．

Answer 1

分析 分类讨论：当以AB为底边作一个等边△ACB和等腰△AC′B时，如图1，作OH⊥AB于H，利用垂径定理得到AH=BH，再利用点O为等边△ACB的内心得到∠OAH=30°，则根据余弦的定义可求出$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以AB：OA=$\sqrt{3}$：1；当以AB为底边作两个等腰Rt△ACB和Rt△AC′B时，如图2，根据圆周角定理得到AB为直径，于是有AB：OA=2：1．

解答 解：当以AB为底边作一个等边△ACB和等腰△AC′B时，如图1，作OH⊥AB于H，则AH=BH，
点O为等边△ACB的内心，∠OAH=30°，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB：OA=$\sqrt{3}$：1；
当以AB为底边作两个等腰Rt△ACB和Rt△AC′B时，如图2，
因为∠C=∠C′=90°，所以AB为直径，
所以AB：OA=2：1．
故答案为2：1或$\sqrt{3}$：1．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是画出几何图形．