Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：
①BC+CE=AB；②BD=

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AE；③BD=CD；④∠ADC=45°；⑤AC+AB=2AM．
其中不正确的结论有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DM=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出①；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②④；证△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出⑤．

解答：解：过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，AC=BC
∴AB=AQ+BQ=AC+CE=BC+CE，
∴①正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=

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∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=

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AE，
∵AN=BD，
∴BD=

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AE，
∴②正确，④正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，BD=CD，
∴③正确；
由勾股定理得：AM=AH，
∴AC+AB=AC+AH+BH=AC+AM+CM=2AM，
∴⑤正确；
故选A．

点评：本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．