Question

14．根据平方差公式：（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}-1$）=（$\sqrt{2}$）²-1=1，由此得到$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$             第2式$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第3式$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$          第4式$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$．
…
（1）请写出第n个式子；
（2）若$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{3}}}+…+$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=19，求n的值；
（3）请说明：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+$$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$＜3．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出第n个式子即可；
（2）根据（1）中的规律求出n的值即可；
（3）根据（1）中的规律计算出式子的结果，再估算出其值即可．

解答 解：（1）∵第1式$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，
第2式$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
第3式$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，
第4式$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$．
∴第n个式子为$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）∵$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{3}}}+…+$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1=19，
∴解得n=399；

（3）不等式的左边=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{10}$-$\sqrt{9}$）
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{10}$-$\sqrt{9}$
=$\sqrt{10}$-1，
∵9＜10＜16，
∴3＜$\sqrt{10}$＜4，
∴2＜$\sqrt{10}$-1＜3，
∴$\sqrt{10}$-1＜3，即不等式成立．

点评 本题考查的是分母有理化，根据题意找出规律是解答此题的关键．