如图.直线y=kx+6与x轴.y轴分别交于点E.F.点E的坐标为.点A的坐标为(1)求k的值,是第二象限内的直线上的一个动点.在点P的运动过程中.试写出△OPA的面积S与x的函数关系式.并写出自变量x的取值范围,(3)探究:当点P运动到什么位置时.△OPA的面积为$\frac{27}{8}$.并说明理由,(4)问在x轴上是否存在点Q.使得△EFQ为等腰三角形?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E，F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为$\frac{27}{8}$，并说明理由；
（4）问在x轴上是否存在点Q，使得△EFQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据三角形的面积公式即可得出S=$\frac{1}{2}$OA•y=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18；
（3）把S=$\frac{27}{8}$代入S=$\frac{9}{4}$x+18即可求得；
（4）分三种情况作出8个符合条件的Q点．

解答解：（1）∵直线y=kx+6经过点E（-8，0），
∴-8k+6=0，解得k=$\frac{3}{4}$；
（2）∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•y=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18．
即S=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；
（3）把S=$\frac{27}{8}$代入S=$\frac{9}{4}$x+18得$\frac{27}{8}$=$\frac{9}{4}$x+18，
解得x=-$\frac{13}{2}$，
∴当点P（-$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{8}$）时，△OPA的面积为$\frac{27}{8}$；
（4）如图，∵E（-8，0），F（0，6）
∴OE=8，OF=6，EF=10，
①以E为圆心以EF为半径作圆交x轴于Q₁、Q₈，y轴于Q₄，
则Q₁（-18，0），Q₈（2，0），Q₄（0，-6），
②以F为圆心以EF为半径作圆交x轴于Q₅，y轴于Q₃、Q₆，
则Q₅（8，0），Q₃（0，-4），Q₄（0，16），
③作EF的垂直平分线交x轴于Q₇，交y轴于Q₂，
通过三角形相似可求得Q₇（-$\frac{7}{4}$，0），Q₂（0，-$\frac{7}{3}$）．
综上，符合条件的Q的坐标为（-18，0）或（2，0）或（0，-6）或（8，0）或（0，-4）或（0，16）或（-$\frac{7}{4}$，0）或（0，-$\frac{7}{3}$）．