Question

11．若直线l₁：y=k₁x+b₁与l₂：y=k₂x+b₂的交点在直线l上，则把直线l叫做l₁、l₂的“轨线”．
（1）求l₁：y=-x+3m-1与l₂：y=x+m-1的“轨线”l的解析式；
（2）若l₁：y=2x+b₁与l₂：y=-2x+b₂的交点在y=x+2上，且l₁、l₂的“轨线”为y=-x，求l₁、l₂的解析式．
（3）若l₁：y=k₁x+b₁与l₂：y=k₂x+b₂分别满足k₁+b₁=0，3k₂+b₂=2．
①求证：l₁、l₂分别经过两个定点A、B；
②若l₁、l₂的交点为C，且S_△ABC=2，求l₁、l₂的“轨线”的解析式．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3m-1}\\{y=x+m-1}\end{array}\right.$，消去m可得y=2x-1，根据“轨线”的定义可知，l₁：y=-x+3m-1与l₂：y=x+m-1的“轨线”l的解析式为y=2x-1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，由题意点（-1，1）在l₁：y=2x+b₁与l₂：y=-2x+b₂上，可得b₁=3，b₂=-1；
（3）①只要证明A（1，0），B（3，2）分别在直线l₁、l₂上即可；
②如图，A（1，0），B（3，2），作BH⊥x轴于H，HM⊥AB于M．易知AB=2$\sqrt{2}$，HM=$\sqrt{2}$，推出S_△HAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，所以点C在过点H平行AB的直线l上，由直线AB的解析式为y=x-1，所以直线l的解析式为y=x-3，根据对称轴可知，当点C在直线l关于直线AB的对称的直线l′上时，也满足条件；

解答 （1）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3m-1}\\{y=x+m-1}\end{array}\right.$，消去m可得y=2x-1，
根据“轨线”的定义可知，l₁：y=-x+3m-1与l₂：y=x+m-1的“轨线”l的解析式为y=2x-1．

（2）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
由题意点（-1，1）在l₁：y=2x+b₁与l₂：y=-2x+b₂上，
∴b₁=3，b₂=-1．
∴l₁：y=2x+3与l₂：y=-2x-1．

（3）①证明：∵若l₁：y=k₁x+b₁与l₂：y=k₂x+b₂分别满足k₁+b₁=0，3k₂+b₂=2．
∴直线l₁：y=k₁x+b₁与l₂：y=k₂x+b₂分经过点A（1，0），B（3，2），
∴l₁、l₂分别经过两个定点A、B．

②如图，A（1，0），B（3，2），作BH⊥x轴于H，HM⊥AB于M．

易知AB=2$\sqrt{2}$，HM=$\sqrt{2}$，
∴S_△HAB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴点C在过点H平行AB的直线l上，
∵直线AB的解析式为y=x-1，
∴直线l的解析式为y=x-3，
根据对称轴可知，当点C在直线l关于直线AB的对称的直线l′上时，也满足条件，
易知直线l′的解析式为y=x+1．
∴l₁、l₂的“轨线”的解析式为y=x-3或y=x+1．

点评 本题考查一次函数的应用、一元一次方程组的应用、两直线平行的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程组解决，属于中考创新题目．