Question

15．关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不等实根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x₁，x₂满足x₁+x₂=-x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=-（2k+1）、x₁•x₂=k²+1，结合x₁+x₂=-x₁•x₂即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再根据k＞$\frac{3}{4}$即可确定k的值．

解答 解：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$．
∴实数k的取值范围为k＞$\frac{3}{4}$．
（2）由根与系数的关系，得：x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+1，
∵x₁+x₂=-x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
解得：k=0或k=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程是解题的关键．