Question

12．已知：如图，△ABC的中线BD、CE交于点O．
（1）求证：$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$；
（2）求证：△ABC的三条中线交于一点．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的重心的概念和性质证明；
（2）延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，证明四边形BHCO是平行四边形，根据平行四边形的性质证明．

解答 证明：（1）∵△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图，延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，
∵CE是△ABC的中线，
∴O是AH的中点，
∵BD是△ABC的中线，
∴OD是△ACH的中位线，
∴OD∥CH，
∴四边形BHCO是平行四边形，
∴BF=CF，
∵AF是△ABC的中线，
即三条中线交于一点O．

点评 本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．