题目内容

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB，AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）． 设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．
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分析：（1）结合图形可知点P与点O重合，当x变化时，y不变，即可得出答案；
（2）利用已知得出△APE∽△ACD，即可得出
PE
CD
=
AP
AC
，进而得出△PEN≌△PFM，即可求出面积；
（3）根据DP=2PB，x变化，y变化，即可得出y=-
3
4
x+
7
2
．
解答：精英家教网解：（1）当x变化时，y不变．
如图1，y=S四边形AMON=S正方形AFOE=
3
2
×
3
2
=
9
4
．（3分）

（2）当x变化时，y不变．
如图2，作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F．（4分）
精英家教网∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．
∴四边形AFPE是正方形．（5分）
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD．
∴△APE∽△ACD．
∴
PE
CD
=
AP
AC
．
∵AP=2PC，CD=3，
∴
PE
3
=
2
3
．
∴PE=2．
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM．（6分）
∴y=S四边形AMON=S正方形AFOE=4．（7分）精英家教网

（3）x变化，y变化．
作PE⊥AD，PF⊥AB，
∵∠MPF+∠MPE=90°，∠NPE+∠MPE=90°，
∴∠MPF=∠EPN，
又∵∠MFP=∠PEN=90°，
∴△MFP∽△NEP，
∴
PE
PF
=
EN
MF
，
∵点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB，PF∥AD，
∴
PF
AD
=
PB
BD
1
3
，
∴PF=1，EP=2，
∵DN=x，EN=2-x，
∴MF=1-
x
2
，
∴AM=1+
x
2
，
∴y=S四边形AMPN=S梯形AEPM+S△PEN=
1
2
×（2+1+
x
2
）×1+
1
2
×2×（2-x）=-
3
4
x+
7
2
，0＜x＜3．（10分）
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识，根据图形变化已知条件是近几年中考新题型，同学们应重点掌握．
练习册系列答案
相关题目
如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
（1）①求证：OE=OF；
②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．
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如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△EFG的直角边EF的长均为4cm，FG=8cm，AB与FG在同一条直线l上、开始时点F与点B重合，让Rt△EFG以每秒1cm速度在直线l上从右往左移动，精英家教网直至点G与点B重合为止．设x秒时Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积记为ycm2．
（1）当x=2秒时，求y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
精英家教网已知正方形ABCD的边长为4厘米，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1厘米，CE=2厘米，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
（2012•惠山区一模）阅读与证明：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

求证：BF+DE=EF．
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
（1）请你将下面的证明过程补充完整．
证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：
y=-x+30
2
y=-x+30
2
．
如图，已知正方形ABCD边长为2，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△EBF≌△FCG；
（2）设四边形EFGH的面积为s，AE为x，求s与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？

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