Question

如图，已知正方形ABCD边长为2，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：△EBF≌△FCG；
（2）设四边形EFGH的面积为s，AE为x，求s与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=BC=CD=AD，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△EBF和△FCG全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EFB=∠FGC，全等三角形对应边相等可得EF=FG，然后求出∠EFG=90°，同理可得FG=GH=EH，判断出四边形EFGH是正方形，再利用勾股定理列式求出EF，然后根据正方形的面积公式列式整理即可得解；
（3）根据二次函数的增减性解答．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AB-AE=BC-BF，
∴BE=CF，
在△EBF和△FCG中，

BE=CF ∠B=∠C=90° BF=CG

，
∴△EBF≌△FCG（SAS）；

（2）∵△EBF≌△FCG，
∴∠EFB=∠FGC，EF=FG，
∵∠CFG+∠FGC=90°，
∴∠CFG+∠EFB=90°，
∴∠EFG=180°-90°=90°，
同理可得FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EF=

BE2+BF2

=

(2-x)2+x2

，
∴四边形EFGH的面积为s=EF²=（2-x）²+x²=2x²-4x+4，
即s=2x²-4x+4（0＜x＜2）；

（2）∵s=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，
∴当x=1时，s最小，
即正方形EFGH的面积最小，最小值是2．

点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，熟记正方形的性质确定出三角形全等的条件是解题的关键．