Question

11．已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（2k-1）²，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，令$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2，建立关于k的方程，解答即可．

解答 解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=-2；
当k≠0时，△=（2k+1）²-4•k•2=（2k-1）²，
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）存在，
设方程两根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=2，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=2，
∴$\frac{-\frac{2k+1}{k}}{\frac{2}{k}}$=2，即-$\frac{2k+1}{2}$=2，
解得：k=-$\frac{5}{2}$，
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．

点评 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．