Question

14．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=$\sqrt{3}$，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图1）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），则PC的长为2$\sqrt{3}$；
（2）将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段EF的中点所经过的路径（线段）长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）如图2，先利用勾股定理计算出PB=2，再证明△APB∽△DCP，然后利用相似比可计算出PC；
（2）设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，利用直角三角形斜边上的中线性质得OP=OB=$\frac{1}{2}$EF，则利用线段垂直平分线定理的逆定理可得O点在线段BP的垂直平分线上，再确定旋转开始和停止时EF的中点位置，然后根据三角形中位线性质确定线段EF的中点所经过的路径（线段）长．

解答 解：（1）如图2，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∵AP=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP：CD=PB：CP，即1：$\sqrt{3}$=2：PC，
∴PC=2$\sqrt{3}$，
（2）设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，
在Rt△EPF中，OP=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△EBF中，OB=$\frac{1}{2}$EF，
∴OP=OB，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
如图2，当点E与点B重合时，点F与点C重合时，EF的中点为BC的中点O，
当点E与点，A重合时，EF的中点为PB的中点O，
∴OO′为△PBC的中位线，
∴OO′=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，
∴线段EF的中点经过的路线长为$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（2）小题的关键是判断O点在线段BP的垂直平分线上．