Question

4．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC²=OE•OP；
（3）求线段EG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；
（2）由射影定理得出OD²=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC²=OE•OP；
（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵∠DAF=∠DAB，
∴∠ADO=∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，
∴∠ODF=90°，
∵AB⊥CD，
∴由射影定理得：OD²=OE•OP，
∵OC=OD，
∴OC²=OE•OP；
（3）解：连接DG，如图2所示：
∵AB⊥CD，
∴DE=CE=4，
∴CD=DE+CE=8，
设OD=OA=x，则OE=8-x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE²+DE²=OD²，
即（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴CG=2OA=10，
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG=90°，
∴DG=$\sqrt{C{G}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴EG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解决问题的关键．