Question

6．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线$y=\frac{1}{4}{（{x-m}）^2}+n$经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

Answer 1

分析 （1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

解答 解：（1）∵点D（m，n），
∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；
（2）点D有一条特征线是y=x+1，
∴n-m=1，
∴n=m+1
∵抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}{（{x-m}）^2}+n$，
∴y=$\frac{1}{4}$（x-m）²+m+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），
∴B（2m，2m），
∴$\frac{1}{4}$（2m-m）²+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3
（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，

根据题意可得，D（2，3），
∴OA′=OA=4，OM=2，
∴∠A′OM=60°，
∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN=$\frac{OM}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线需要向下平移的距离=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$．
如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），

则OA′=OA=4，OE=3，EA′=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′F=4-$\sqrt{7}$，
设P（4，c）（c＞0），
，在Rt△A′FP中，（4-$\sqrt{7}$）²+（3-c）²=c²，
∴c=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$，
∴P（4，$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$）
∴直线OP解析式为y=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$x，
∴N（2，$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$），
∴抛物线需要向下平移的距离=3-$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$，
即：抛物线向下平移$\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$距离，其顶点落在OP上．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．