Question

19．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，交直线y=x于A，B两点，已知圆心P的坐标为（2，a）（a＞2），AB=2$\sqrt{3}$，则a的值为（　　）

• A． 4
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． $\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设圆P与y轴相切于D点，连接PD，利用切线的性质得到PD⊥y轴，过P作PC⊥AB，连接PA，利用垂径定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，再利用勾股定理求出PC的长，即为点P到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式求出a的值即可．

解答 解：设圆P与y轴相切于D点，连接PD，则有PD⊥y轴，
过P作PC⊥AB，连接PA，则有AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵P的坐标为（2，a），
∴PD=PA=2，
在Rt△APC中，根据勾股定理得：PC=$\sqrt{A{P}^{2}-A{C}^{2}}$=1，
∴点P到直线AB的距离d=1，即$\frac{|a-2|}{\sqrt{2}}$=1，
解得：a=2+$\sqrt{2}$或a=2-$\sqrt{2}$（舍去），
则a的值为2+$\sqrt{2}$，
故选B

点评 此题考查了切线的性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．