Question

9．在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a²+b²=c²．即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A'B'C'，并把它们拼成如图形状 （点C和A'重合，且两直角三角形的斜边互相垂直）．请利用拼得的图形证明勾股定理．

Answer 1

分析 连接AC′，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．

解答 证明：在直角三角形ABC中，∵∠1+∠2=90°，∠1=∠3，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠ACC′=90°，
∴∠2+∠3+∠ACC′=180°，
∴B、C（A′）、B′在同一条直线上，
又∠B=90°，∠B′=90°，
∴∠B+∠B′=180°，
∴AB∥C′B′，
连接AC′，过点C′作C′D⊥AB交AB于点D，

则四边形ABB′C′面积等于三个直角三角形面积，
∴$\frac{1}{2}$（a-b）（a+b）+（a+b）b=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
即$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$b²+ab+b²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²．

点评 本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．