Question

2．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A、B．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线对称轴上存在一点P，使△ABP的周长最短．试求点P的坐标和该最短周长．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征求A，B两点的坐标；
（2）把A、B点坐标代入根据待定系数法求出a的值即可．
（3）先求得P的位置，然后求得直线BC的解析式，把x=2代入求得的解析式即可求得P点的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=-3x+3=3，则B点坐标为（0，3）；
（2）∵抛物线过A（1，0）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（1-2）^{2}+k=0}\\{a（0-2）^{2}+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²-1．
（3）连接BC，交对称轴于P，此时PA+PB的值最小，即△ABP的周长最短，最短周长=AB+BC，
∵A点坐标为（1，0），对称轴为x=2，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∵B（0，3），C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
令x=2，则y=-2+3=1，
∴P（2，1），
∵A（1，0），B（0，3），C（3，0）；
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴最短周长为$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及轴对称-最短路线问题，根据题意确定P的位置是解题的关键．