Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心的半圆经过A、D两点，交AB于E，连接OC交AD于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OF：FC=2：3，CD=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，得到∠DOE=2∠DAE，由角平分线得到∠BAC=2∠DAE，得出∠DOE=∠BAC，得到OD∥AC即可；
（2）由OD∥AC一个A型和一个X型相似图形，先求出BD，作出DH⊥AB，利用三角函数求出∠B，进而得出OB，利用角平分线的性质得出DH=3，从而求出圆的半径，即可．

解答 解：（1）BC是⊙O的切线，
理由：如图，

连接OD，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠DOE=2∠BAD，
∴∠DOE=∠BAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
（2）如图2，

连接OD，
由（1）知，OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OF}{FC}$，
∵$\frac{OF}{FC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∵OD∥AC，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{OD}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{DB}{CD}=\frac{2}{1}$
∵CD=3，
∴DB=6，
过点D作DH⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠ACB=90°，
∴DH=CD=3，
在Rt△BDH中，DH=3，BD=6，
∴sin∠B=$\frac{DH}{DB}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，BO=$\frac{BD}{cos∠B}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，
在Rt△ODB中，sin∠DOH=$\frac{DH}{OD}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{OD}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$，
∴BE═OB-OE=OB-OD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题是直线和圆的位置关系，主要考查了圆的性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形，解本题的关键是求出BD．