Question

已知：二次函数y=

1

2

x²+px+q的图象与x轴交于A（-4，0），与y轴交于点C（0，-2），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求点B的坐标，并判断△ABC的形状，说明理由；
（3）点D是该抛物线x轴上方的一点，过点D作DE⊥x轴于点E，是否存在△ADE，使得△ADE与△ABC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,勾股定理的逆定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）只需令y=0，就可求出点B的坐标，然后根据点A、B、C的坐标求出AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；
（3）点D是该抛物线x轴上方的一点，可分点D在第一象限和第二象限两种情况讨论，对于每一种情况，又分△AED∽△ACB和△AED∽△BCA两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质得到AE与DE的关系，设其中一个为x，从而得到点D的坐标（用x的代数式表示），然后将点D的坐标代入二次函数的关系式，求出x的值，就可得到点D的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=

1

2

x²+px+q的图象经过点A（-4，0）、点C（0，-2），
∴

1 2 ×16-4p+q=0 q=-2

，
解得：

p= 3 2 q=-2

，
∴二次函数的关系式为y=

1

2

x²+

3

2

x-2．

（2）令y=0，得

1

2

x²+

3

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=1，
∴点B的坐标为（1，0）．
△ABC是直角三角形．
理由：∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2．
∴AB=OA+OB=5．
∵OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（3）①点D在第一象限，如图1．
Ⅰ．若△AED∽△ACB，
则有

AE

ED

=

AC

CB

=

20

5

=2．
设ED=x，则AE=2x，
∴点D的坐标为（-4+2x，x）．
把点D（-4+2x，x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
x=

1

2

（-4+2x）²+

3

2

（-4+2x）-2，
解得：x₁=0（舍去），x₂=3．
∴点D的坐标为（-4+2×3，3）即（2，3）；
Ⅱ．若△AED∽△BCA，
则有

AE

ED

=

BC

CA

=

5

20

=

1

2

．
设AE=x，则ED=2x，
∴点D的坐标为（-4+x，2x）．
把点D（-4+x，2x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
2x=

1

2

（-4+x）²+

3

2

（-4+x）-2，
解得：x₃=0（舍去），x₄=9．
∴点D的坐标为（-4+9，18）即（5，18）；
②点D在第二象限，如图2．
Ⅰ．若△AED∽△ACB，
则有

AE

ED

=

AC

CB

=

20

5

=2．
设ED=x，则AE=2x，
∴点D的坐标为（-4-2x，x）．
把点D（-4-2x，x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
x=

1

2

（-4-2x）²+

3

2

（-4-2x）-2，
解得：x₅=0（舍去），x₆=-2（舍去）；
Ⅱ．若△AED∽△BCA，
则有

AE

ED

=

BC

CA

=

5

20

=

1

2

．
设AE=x，则ED=2x，
∴点D的坐标为（-4-x，2x）．
把点D（-4-x，2x）代入y=

1

2

x²+

3

2

x-2，得：
2x=

1

2

（-4-x）²+

3

2

（-4-x）-2，
解得：x₇=0（舍去），x₈=-1（舍去）．
综上所述：符合题意的点D的坐标为（2，3）或（5，18）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、解一元二次方程等知识，另外还考查了分类讨论的数学思想，设AE（或DE）为x，从而得到点D的坐标（用x的代数式表示）是解决第（3）小题的关键．