Question

如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB*AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=

20

x

（x＞0）；②E点的坐标是（4，8）；③tan∠COA=

4

3

；④AC+OB=12

5

，
其中正确的结论有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：反比例函数综合题,完全平方公式,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,菱形的性质,锐角三角函数的定义

专题：

分析：过点C作CH⊥OA于H，运用菱形的面积公式可求出CH，然后根据勾股定理求出OH，从而可求出点C的坐标及tan∠COA的值；然后根据中点坐标公式可求出点D的坐标，运用待定系数法可求出双曲线的解析式；由y_E=y_C就可求出点E的坐标；根据勾股定理可求出AC²+OB²，然后运用完全平方公式就可求出AC+OB的值．

解答：解：过点C作CH⊥OA于H，如图所示．
∵A点的坐标为（10，0），
∴OA=10．
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=10，S_菱形OABC=

1

2

OB•AC=OA•CH．
∵OB•AC=160，OA=10，
∴CH=8，
∴OH=

OC2-CH2

=

102-82

=6，
∴点C的坐标为（6，8），tan∠COA=

CH

OH

=

8

6

=

4

3

．
∵点C的坐标为（6，8），A点的坐标为（10，0），
∴线段AC的中点D的坐标为（

6+10

2

，

8+0

2

）即（8，4）．
∵双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，
∴k=8×4=32，
∴双曲线的解析式为y=

32

x

（x＞0）．
∵点E在双曲线y=

32

x

（x＞0）上，且y_E=y_C=8，
∴x_E=4，即点E的坐标为（4，8）．
∵四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OB=2OD，AC=2AD，
∴OB²+AC²=4OD²+4AD²=4OA²=400，
∴（AC+OB）²=AC²+OB²+2AC•OB=400+320=720，
∴AC+OB=

720

=12

5

．
综上所述：正确的有②、③、④，共3个．
故选：D．

点评：本题主要考查了菱形的性质、用待定系数法求双曲线的解析式、勾股定理、三角函数、中点坐标公式、完全平方公式等知识，解决本题的关键是根据菱形的面积公式求出OA边上的高．