Question

12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=$\sqrt{6}$，则AE=2（提示：可过点A作BD的垂线）

Answer 1

分析 过A作AF⊥BD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可．

解答 解：过A作AF⊥BD，交BD于点F，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=AD=$\sqrt{6}$，
∴根据勾股定理得：BD=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$，
在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
设EF=x，则有AE=2x，
根据勾股定理得：x²+3=4x²，
解得：x=1，
则AE=2．
故答案为：2

点评 此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．