Question

【题目】如图，点的坐标为，点，分别在轴，轴的正半轴上运动，且，下列结论：

①

②当时四边形是正方形

③四边形的面积和周长都是定值

④连接，，则，其中正确的有（ ）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=2，证得△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=4，当OA=OB时，OA=OB=2，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=4，然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．

过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，

∵P(2，2)，
∴PN=PM=2．
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，

则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=2，
∵∠MPN=∠APB=90°，
∴∠MPA=∠NPB．
在△MPA≌△NPB中，

，
∴△MPA≌△NPB，
∴PA=PB，故①正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴AM=BN，
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=2+2=4．
当OA=OB，即OA=OB=2时，

则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴．
∵OA+OB=4，PA=PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以AB≥OP，故④错误．
故选：A．