Question

10．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B′处，连接AB′并延长交CD于点F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，BC=4，求tan∠CB′F的值．

Answer 1

分析 （1）认真审题，根据三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE=∠CEB，进而证明AF∥EC，又AE∥FC，据此即可得证；
（2）由（1）知AF∥EC，所以∠CB′F=∠B′CE=∠BCE，进而得解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
∵△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B′处，
∴BE=B′E，
∴AE=B′E，
∵∠CEB=∠CEB′=$\frac{1}{2}∠BEB′$，
∴∠FAE=∠AB′E，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}∠B′EB$，
∴∠FAE=∠CEB，
∴AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AF∥EC，∠CB′F=∠B′CE，
∵△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B′处，
∴∠B′CE=∠BCE，
∴∠CB′F=∠B′CE=∠BCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
  在Rt△EBC中，BE=$\frac{1}{2}AB$=3，BC=4，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CB′F=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，以及三角函数等知识点，解题的关键是把握住翻折变换前后角的大小不变，线段的大小不变，注意总结．