Question

1．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．
（1）若AB=8，AC=4，求MD的长．
（2）求证：MD⊥ME．

Answer 1

分析 （1）延长CD交AB于点F，先证明△ADF≌△ADC，得出AC=AF，CD=DF，再证明MD是△CBF的中位线，得出DM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（AB-AF），即可得出结果；
（2）连接MF，EF，先证明MF是△ABC的中位线，得出MF∥AC，再证明E、M、F三点共线，得出MD⊥EF，即可得出结论．

解答 解：（1）延长CD交AB于点F；如图1所示：
在△ADF和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠CAD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠ADF=∠ADC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC=AF=4，CD=DF，
又∵M是BC的中点，
∴MD是△CBF的中位线，
∴MD∥BF，DM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$（AB-AF）
=$\frac{1}{2}$（AB-AC）=$\frac{1}{2}$（8-4）=2，
（2）证明：连接MF，EF，如图2所示：
∵AB=8，AF=4，
∴F是AB的中点，
∴MF是△ABC的中位线，
∴MF∥AC，
∵AB⊥AC，
∴MF⊥AB，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴EF⊥AB（三线合一），
∴E、M、F三点共线，
∵MD∥AB，
∴MD⊥EF，
∴MD⊥ME．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理；本题有一定难度，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三点共线才能得出结论．