Question

18．在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=90°．
（1）求证：DB=CE；
（2）点F为DC的中点，连接AF交BE于G，求：∠AGB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根据AB=AC，∠ACE=∠ABD，可证明△ABD≌△ACE，继而可得出DB=CE；
（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，易证△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易证∠BAE=∠ACM，从而证得△ABE≌△CAM，通过∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°

解答 证明：（1）∵∠BAC=90°，EA⊥AD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴DB=CE；
（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，
在△ADF与△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CF}\\{∠DFA=∠CFM}\\{AF=FM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF（SAS），
∴AD=CM，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=CM，
∴∠BAM=∠CAM，
在△ABE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠AMC}\\{AE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴∠ABG=∠CAF=45°，
∵∠CAF+∠BAG=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠AGB=∠AGE=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．