Question

15．如图，已知抛物线y=ax²+c与x轴交于点A、B，其中点A的坐标是（-1，0），与y轴交于点N（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN、BN，过点A作AM∥BN交抛物线于点M，连接BM．求四边形ANBM的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，
（2）根据解析式得出B点坐标，进而得出AB的长，求出S_△ABN的值，然后利用待定系数法求得直线直线AM的解析式，联立方程即可求得M的坐标，从而求得S_△ABM的值，利用S_{四边形ANBM}=S_△ABN+S_△ABM求得即可．

解答 解：∵抛物线y=ax²+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴于点N（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴y=x²-1，
∴0=x²-1时，x=±1，
∴B点坐标为：（1，0），
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
设直线BN的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得k=1，
∵AM∥BN，
设直线AM的解析式为y=x+n，
∴0=-1+n，
∴n=1，
∴直线AM的解析式为y=x+1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴M（2，3），
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴S_{四边形ANBM}=S_△ABN+S_△ABM=4．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求解析式以及三角形面积求法，求出M点的坐标是解题关键．