Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．O为AB的中点，连接CO并延长到E，使OE=OC．过点A作AD∥CE交BE的延长线于D．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）若BC=3，求△ABD的周长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，周长四边形ACBE是平行四边形，得出AC∥BE，由AD∥CE，即可得出四边形ACED是平行四边形．
（2）证出四边形ACED是矩形，得出AB=CE=AD，证明△ABD是等边三角形，得出AB=AD=BD，设AC=x，则AB=2AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程求出AB，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接AE，如图所示：
∵O为AB的中点，
∴OA=OB，
∵OC=OE，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∴AC∥BE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）解：∵∠ACB=90°，四边形ACED是平行四边形．
∴四边形ACED是矩形，
∴AB=CE=AD，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
设AC=x，则AB=2AC=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x²+3²=（2x）²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∴△ABD的周长=3AB=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．