Question

△ABC中，AD平分∠BAC，BE垂直AD交AD延长线于点E，M为BC中点，连接ME．
（1）求证：∠BAC=2∠AEM；
（2）连接AM并延长交BE于N，连接DN，若AB=2AC．探究ME与DN的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长AC、BE相交于点F，根据角平分线的定义可得∠BAE=∠FAE，然后利用“角边角”证明△ABE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，AB=AF，从而得到ME是△BCF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一可得ME∥AF，ME=

1

2

CF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEM=∠FAE，从而得证；
（2）先求出AC=AF，再求出△MNE和△ANF相似，根据相似三角形对应边成比例求出

NE

NF

=

ME

AF

=

1

4

，再求出AB=4ME，

NE

BN

=

1

2

，再求出

DE

AD

=

1

2

，然后得到DN∥AB，然后根据平行线分线段成比例定理求出

DN

AB

=

1

3

，再求出AB=3DN，从而得解．

解答：（1）证明：如图，延长AC、BE相交于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中，

∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF=90°

，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF，AB=AF，
∵M为BC中点，
∴ME是△BCF的中位线，
∴ME∥AF，ME=

1

2

CF，
∴∠AEM=∠FAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠FAE，
∴∠BAC=2∠AEM；

（2）解：4ME=3DN．
理由如下：∵AB=2AC，AB=AF，
∴AC=AF，
由ME∥AF得，△MNE∽△ANF，
∴

NE

NF

=

ME

AF

=

ME

2CF

=

ME

2•2ME

=

1

4

，
∴AB=AF=4ME，NE=4NF，
∴BE=EF=3NE，
∵ME∥AF，
∴

DE

AD

=

ME

AC

=

1

2

，
∴

DE

AD

=

NE

BN

=

1

2

，
∴DN∥AB，
∴

DN

AB

=

NE

BE

=

1

3

，
∴AB=3DN，
∴4ME=3DN．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟记各性质与定理并作出辅助线是解题的关键，难点在于（2）求出DN∥AB．