Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，点D在边AC上，且CD=

1

3

AC，过点D作DE∥AB，交边BC于点E，将△DCE绕点E旋转，使得点D落在AB边上的D′处，则sin∠DED′=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据勾股定理得出AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再得出△ADM∽△ABC，进而得出DM的长，利用锐角三角函数关系得出sin∠DED′．

解答：解：如图所示：
过点D′作D′F⊥ED，过点D作DM⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，
∴AB=15，
∵CD=

1

3

AC，
∴CD=4，
∵过点D作DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CE

BC

=

CD

AC

=

DE

AB

，
∴

4

12

=

DE

AB

，
∴DE=5，
∵∠A=∠A，∠AMD=∠BCA，
∴△ADM∽△ABC，
∴

BC

DM

=

AB

AD

，
∴

9

DM

=

15

8

，
解得：DM=

24

5

，
∵DE∥AB，D′F⊥DE，MD⊥DE，
∴四边形D′FDM是矩形，
∴D′F=DM，
∴sin∠DED′=

D′F

ED′

=

24 5

5

=

24

25

．
故答案为：

24

25

．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题关键．