Question

5．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB．
证明：（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．

Answer 1

分析 （1）首先连接AF，由D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，CF∥AB，易证得四边形BCDF与四边形ADCF是平行四边形，继而证得结论；
（2）由$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，可得$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，则可得∠G=∠DBC，继而证得∠GDB=∠DBC=∠G=∠CDB，可证得△BCD∽△GBD．

解答 证明：（1）连接AF，
∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，
∴DF∥BC，AD=DB，
∵CF∥AB，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴CF=BD，
∴CF=AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD=AF，
∵AB∥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴BC=AF，
∴CD=BC；

（2）∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，
∴∠G=∠DBC，
∵GF∥BC，
∴∠GDB=∠DBC=∠G，
∵CD=BC，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠GDB=∠DBC=∠G=∠CDB，
∴△BCD∽△GBD．

点评 此题考查了相似三角形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．