Question

5．将一个直角三角形ABO放在平面直角坐标系中，如图所示，其中直角顶点O与坐标原点重合，斜边AB与y轴相交于点C．

（1）如图1，当∠A=∠AOC时，试判断∠COB与∠B的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，AB的延长线与x轴相交于点E，OD⊥AB于点D，若∠A=∠AEO，∠DOB=∠BOE．求∠ABO的度数；
（3）如图3，在（2）的惰况下，将△ABO绕O点旋转（边AB始终与y轴有交点）时，OF平分∠AOG，CP平分∠OCB，并与OF的反向延长线相交于点P，在旋转过程中，∠P的大小是否发生变化？如果发生变化，求∠P的变化范围；如果不变，求∠P的值．

Answer 1

分析 （1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；
（2）易证∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，且∠DOB=∠EOB=∠OEA就可以得到；
（3）∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）根据角平分线的定义，就可以求出．

解答 解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°．
∵∠A=∠AOC，
∴∠B=∠BOC；
（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，
∴∠A=∠DOB，即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA．
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，
∴∠DOB=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ABO=60°；
（3）∠P的度数不变，∠P=30°，
∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM=$\frac{1}{2}$∠AOM=$\frac{1}{2}$（90°-∠AOC）=45°-$\frac{1}{2}$∠AOC，∠PCO=$\frac{1}{2}$∠BCO=$\frac{1}{2}$（∠A+∠AOC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠AOC．
∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）
=45°-$\frac{1}{2}$∠A
=30°

点评 本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，关键是根据三角形的内角和和角平分线的定义解答．