Question

【题目】如图，抛物线过两点．

求抛物线的解析式．

为抛物线对称轴与x轴的交点，N为对称轴上一点，若，求M到AN的距离．

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)或或或

【解析】分析：（1）直接用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出抛物线对称轴，从而确定出MN，用，最后用面积公式求解即可；
（3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分三种情况求解即可．

详解：抛物线过两点，

，

抛物线解析式为；
由有，抛物线解析式为；
抛物线对称轴为，
，
，
，
，
，
为对称轴上一点，
，

，

设M到AN的距离为h，
在中，，
，
到AN的距离；

存在，

理由：设点P(1,m)，

∵A(1,0),B(0,2)，

∴

∵△PAB为等腰三角形，

∴①当AB=AP时，

∴

∴m=±1，

∴P(1,1)或P(1,1)，

②当AB=BP时，

∴

∴m=4或m=0，

∴P(1,4)或P(1,0)；

③当AP=BP时，

∴

∴

∴

满足条件的点P的坐标为或或或