Question

【题目】已知：如图，已知直线 AB 的函数解析式为 y 2x 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B 。

（1）求 A 、 B 两点的坐标；

（2）若点 P m, n为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE x 轴于 E ， PF y轴于点 F ，连接 EF ，问：

①若PEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 3时 P 点的坐标；

②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，8）；（2）①；②存在；EF的最小值=OP=.

【解析】

（1）根据坐标轴上点的特点直接求值，

（2）①由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可；

②存在，首先证明四边形OEPF是矩形，可得EF=OP，根据垂线段最短可知：当OP⊥AB时，此时EF最小；

解：（1）令x=0，则y=8，

∴B（0，8），

令y=0，则-2x+8=0，

∴x=4，

∴A（4，0），

（2）①∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，

∴-2m+8=n，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴0＜m＜4

∵PF=m，PE=-2m+8

∴=PF×PE=×m×（-2m+8）=，（0＜m＜4）；

②存在，如图

理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，

∴四边形OEPF是矩形，

∴EF=OP，

当OP⊥AB时，此时EF最小，

∵A（4，0），B（0，8），

∴AB=

∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OP，

，

∴EF的最小值=OP=.